El problema de Hadwiger-Nelson es un desafío de la geometría discreta que sigue sin resolverse tras más de 70 años de estudio. Este problema consiste en determinar el número mínimo de colores necesarios para pintar el plano de forma que dos puntos a una distancia de una unidad siempre tengan colores diferentes.
A pesar de que se conocen algunas configuraciones que requieren entre cinco y siete colores, aún no se ha encontrado una solución definitiva. Por ejemplo, una de las primeras observaciones muestra que se necesitan al menos tres colores para pintar tres vértices de un triángulo equilátero de lado uno, asegurando que no haya dos vértices adyacentes con el mismo color.
En los años 60, los matemáticos Leo y William Moser demostraron que una configuración de siete puntos en el plano requiere, como mínimo, cuatro colores. Más recientemente, en 2018, Aubrey de Grey presentó una configuración con más de 1000 puntos que exige al menos cinco colores. A pesar de estos avances, también se sabe que el número de colores no puede ser superior a siete, ya que existen métodos que permiten colorear el plano de esta manera.
Una de las estrategias más conocidas para abordar este problema es la teselación en forma de panal de abejas, donde un hexágono central se pinta de un color, y los seis hexágonos adyacentes reciben colores diferentes. Sin embargo, el misterio persiste, ya que es posible que exista una configuración que requiera menos colores.
Para avanzar en la investigación, los matemáticos a menudo imponen restricciones más suaves. En el caso del problema de Hadwiger-Nelson, una variante conocida como «problema débil» se ocupa de las configuraciones de color en las que no todos los puntos coloreados con el mismo color deben estar a una distancia de exactamente una unidad. Esto permite explorar nuevas soluciones, introduciendo una noción de distancias asociadas a cada color.
Recientemente, un equipo de investigadores del Zuse Institute Berlin (ZIB) y de la Technische Universität Berlin (TU Berlin) logró un avance significativo en este campo. Con el uso de redes neuronales, que permiten encontrar soluciones aproximadas mediante la evaluación de una enorme cantidad de configuraciones, los investigadores han logrado una configuración válida con seis colores y distancias asociadas, donde la condición de distancia para el sexto color es más relajada.
Este enfoque computacional ha mostrado un gran potencial, y es probable que en el futuro se puedan abordar otros problemas complejos, como la extensión del problema a dimensiones superiores o la resolución completa del problema de Hadwiger-Nelson.